点C为圆O:x^2 Y^2=1上一点,以C为圆心作一圆与x轴相切于点D,与圆O交与点EF

设C点(m,n)，则E,F点的坐标满足方程组

x^2+y^2=1
(x-m)^2+(y-n)^2=n^2

两式相减，并借助m^2+n^2=1得
EF的方程为2mx+2ny+n^2-2=0。

要证明EF平分CD，
因为CD的直线方程为x=m，
所以它与EF的交点的纵坐标为
(2-n^2-2m^2)/(2n)=n^2/(2n)=n/2
恰为C点纵坐标的一半，所以
所以EF平分CD。

我可以很明确的告诉你，第一问，直线EF真的不固定 

因为你的C点没有确定，所以两个交点就不能确定，如果你画一下图，你就会知道，EF根本不是确定的 

不过第二问到可以做 

如果设C（m,n） 

则圆C的方程为(x-m)^2+(y-n)^2=n^2 

圆O的方程为x^2+y^2=1 

且有m^2+n^2=1 

两式相减，得 

EF的方程为2mx+2ny+n^2-1=0 

点D到直线EF的距离为(m^2)/2 

点C到直线EF的距离为(n^2-1)/2=(m^2)/2 

可以证明两三角形全等 

所以CD被EF平分

圆O的方程为x^2+y^2=1,动点P(x,y)在圆O上运动,则(y+1)/(x+2)的最大值是多少? 已知圆x^2+y^2-6y+c=0与直线x+26y-3=0的两个交点P，Q。o为圆点，OP垂直OQ,求圆的方程 已知圆C:x^2+y^2-2*x+4*y-4=o,是否存在斜率为1的直线m,使以m被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点？ 动点P(x,y)在圆O：x^2+y^2=1上运动，求(y+1)/(x+2)的最大值？ 若x+2y=4,且x>o,y>o,则lg(x+2)+lg(y+1)的最大值为 已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P，Q，O为坐标原点，且OP垂直于OQ，则F为？ 过点A（0，1）的直线L与抛物线Y^2=2X交于B，C,O为原点。若直线0B，0C的斜率之和为1，求直线L的方程 动点P(x,y)是抛物线y=x^2-2x-1上的点，O为原点，OP^2当x=2时取得极小值，求OP^2的最小值 一次函数Y=KX-2K(K>O)的图象与X轴交于点A,与Y轴交与点B,点C的坐标为(—2，3） 已知一次函数y= —2x+6与x轴交于A点, 与y州交于B点,O为坐标系的原点.